Le taux d'hydratation en boulangerie

03 juillet 2014 - Mots-clés : Calcul Pain

Voici les questions auxquelles je veux pouvoir répondre :

  • je veux faire une pâte d'un poids donné, quels poids d'eau, de farine et de levain dois-je utiliser ?
  • je dispose d'un certain poids de levain, quels poids d'eau et de farine dois-je lui ajouter ?
  • j'ai une recette de pain à la levure, comment le convertir en recette de pain au levain ?

Afin d'écrire des programmes qui permettent d'automatiser les calculs, il me faut déterminer les formules à appliquer.

Les formules

Le taux d'hydratation

Voici un préambule nécessaire sur le taux d'hydratation en boulangerie :

  • pf : poids de la farine ;
  • pe : poids de l'eau ;
  • pp : poids de la pâte, c'est à dire la farine et l'eau mélangées ;
  • th : taux d'hydratation.

La définition du taux d'hydratation :

th = pe / pf
pe = pf * th
pf = pe / th

Et voici d'autres relations avec le poids de la pâte qui seront bien utiles pour la suite.

D'abord, le poids total de la pâte en fonction des poids de la farine et de l'eau :

pp = pf + pe
    = pf + pf * th
    = (1 + th) * pf

pp = pe + pf
    = pe + pe / th
    = (1 + 1 / th) * pe

Et enfin les poids de la farine et de l'eau en fonction du poids total de la pâte :

pf = pp / (1 + th)
pe = pp / (1 + 1 / th)
   = pp * th / (1 + th)

Applications

Les données sont les suivantes :

  • ptp : poids total de la pâte (eau + farine + levain) ;
  • thl : taux d'hydratation du levain ;
  • thp : taux d'hydratation de la pâte ;
  • tlf : taux de la farine du levain par rapport à la farine ;
  • pf : le poids de la farine ;
  • pe : le poids de l'eau ;
  • pfl : le poids de farine dans le levain ;
  • pel : le poids de l'eau dans le levain ;
  • pl : poids du levain (eau + farine) ;
  • pte : le poids total d'eau (l'eau ajoutée pe + celle contenue dans le levain pel) ;
  • ptf : le poids total de farine (y compris celle contenue dans le levain pf + pfl).

Supposons que l'on connaisse le poids de la farine pfl contenue dans le levain. On pourrait effectuer une chaîne de calculs rien qu'en posant les définitions. La valeur obtenue sur une ligne est reportée dans la suivante et ainsi de suite :

pf = pfl / tlf
ptf = pf + pfl
pte = ptf * thp
pel = pfl * thl
pe = pte - pel

Parcourons cette chaîne sans faire des calculs numériques mais en substituant les définitions dans les lignes qui suivent.

Eliminons pf :

ptf = pfl / tlf + pfl
    = (1 / tlf + 1) * pfl
pte = ptf * thp
pel = pfl * thl
pe = pte - pel

Eliminons ptf :

pte = (1 / tlf + 1) * pfl * thp
pel = pfl * thl
pe = pte - pel

Eliminons pte et pel :

pe = (1 / tlf + 1) * pfl * thp - pfl * thl
   = [(1 / tlf + 1) * thp - thl] * pfl

Récapitulons, pfl étant supposé donné au départ :

pfl
pf = pfl / tlf
ptf = (1 / tlf + 1) * pfl
pte = (1 / tlf + 1) * pfl * thp
pel = pfl * thl
pe = [(1 / tlf + 1) * thp - thl] * pfl

pfl n'est en fait pas une donnée de départ, il faut donc le calculer.

Poids de la pâte imposé

Si ptp est imposé, c'est pas très compliqué (cf préambule sur le taux d'hydratation pour la première ligne) :

ptf = ptp / (1 + thp)
(1 / tlf + 1) * pfl = ptp / (1 + thp)
pfl = ptp / (1 + thp) / (1 / tlf + 1)
    = ptp * tlf / (1 + thp) / (1 + tlf)

et :

pl = (1 + thl) * pfl

Les données d'entrée sont donc :

  • ptp : poids total de la pâte (eau + farine + levain) ;
  • thl : taux d'hydratation du levain ;
  • thp : taux d'hydratation de la pâte ;
  • tlf : taux de la farine du levain par rapport à la farine ;

et les données de sortie sont :

  • pf : le poids de la farine ;
  • pe : le poids de l'eau ;
  • pl : poids du levain ;
Application numérique

Données d'entrée

ptp = 1000
thp = 0.6
thl = 0.8
tlf = 0.3

Voici le déroulé des formules :

pfl = 1000 * 0.3 / (1 + 0.6) / (1 + 0.3) = 144.23
pf = 144.23 / 0.3 = 480.77
ptf = (1 / 0.3 + 1) * 144.23 = 625
pte = (1 / 0.3 + 1) * 144.23 * 0.6 = 375
pel = 144.23 * 0.8 = 115.38
pe = [(1 / 0.3 + 1) * 0.6 - 0.8] * 144.23 = 259.61
pl = (1 + 0.8) * 144.23 =  259.61
Utilisation d'un tableur

Certain préférerons utiliser un tableur. Son avantage est d'être plus visuel et de faire apparaître les calculs intermédiaires. Le fichier au format ods (LibreOffice et OpenOffice) pate-imposee.ods est téléchargeable.

En affichant les formules :

Et en affichant les valeurs :

Poids du levain imposé

Si le poids du levain pl est imposé, c'est beaucoup plus facile (idem préambule) de le trouver à partir de pl :

pfl = pl / (1 + thl)

Les données d'entrée sont donc :

  • pl : poids du levain ;
  • thl : taux d'hydratation du levain ;
  • thp : taux d'hydratation de la pâte ;
  • tlf : taux de la farine du levain par rapport à la farine ;

et les données de sortie :

  • pf : poids de la farine ;
  • pe : poids de l'eau ;
  • ptp : poids total de la pâte (eau + farine + levain) ;

Application numérique :

pl = 150
thl = 0.8
thp = 0.6
tlf = 0.3

Voici le déroulé des formules :

pfl = 150 / (1 + 0.8) = 83.33
pf = 83.33 / 0.3 = 277.77
ptf = (1 / 0.3 + 1) * 83.33 = 361.11
pte = (1 / 0.3 + 1) * 83.33 * 0.6 = 216.67
pel = 83.33 * 0.8 = 66.67
pe = [(1 / 0.3 + 1) * 0.6 - 0.8] * 83.33 = 150
ptp = 361.11 + 216.67 = 577.78
Utilisation d'un tableur

Le fichier au format ods levain-impose.ods est téléchargeable.

En affichant les formules :

Et en affichant les valeurs :

Pâte équivalente

Les données d'entrée sont :

  • pte : le poids de l'eau ;
  • ptf : le poids de la farine ;
  • thl : taux d'hydratation du levain ;
  • tlf : taux de la farine du levain par rapport à la farine ;

et on veut obtenir :

  • pf : poids de la farine ;
  • pe : poids de l'eau ;
  • pl : poids du levain (eau + farine).

Posons les définitions :

pe = pte - pel
pf = ptf - pfl
pel = pfl / thl
pl = pfl + pel
pl = pf * tlf

Eliminons pel :

pe = pte - pfl / thl
pf = ptf - pfl
pl = pfl + pfl / thl
   = (1 + 1 / thl) * pfl
pl = pf * tlf

Eliminons pfl :

pe = pte - pl / [(1 + 1 / thl) * thl]
pf = ptf - pl / (1 + 1 / thl)
pl = pf * tlf

Eliminons pl :

pe = pte - pf * tlf / [(1 + 1 / thl) * thl]
pf = ptf - pf * tlf / (1 + 1 / thl)

pe = pte - ptf * tlf / [1 + (1 + tlf) * thl]
pf = ptf / [1 + tlf / (1 + 1 / thl)]

Application numérique :

ptf = 500
pte = 300
thl = 0.7
tlf = 0.4

Voici le déroulé des formules :

pe = 300 - 500 * 0.4 / [1 + (1 + 0.4) * 0.7] = 198.99
pf = 500 / (1 + 0.4 / (1 + 1 / 0.7)) = 429.29
pl = 429.29 * 0.4 = 171.72

Vérifications :

pfl = 500 - 429.29 = 70.71
pel = 300 - 198.99 = 101.01
pl = 70.71 + 101.01 = 171.72 -> OK
thl = 70.71 / 101.01 = 0.7 -> OK

Les formulaires en ligne

Je mets à votre disposition des formulaires de calculs de boulangerie qui automatisent les calculs présentés ci-dessus.

Vous pouvez retrouver le projet complet sous Github.

Ailleurs sur le net

Je me suis lancé dans la rédaction de cet article faute de trouver les informations que j'attendais. Enfin presque puisque je suis tombé sur la page Les équations boulangères de Jean-Michel. Contrairement à ce que le titre laisse supposer, les équations font défaut, on y trouve des formules qui mélangent symboles et valeurs numériques, ce qui fait qu'on n'arrive pas à suivre. Pourtant les équations doivent bien se trouver quelque part puisqu'il y a un fichier "Excel" à télécharger.

Qu'à cela ne tienne, j'irai chercher les fameuses équations dans le document "Excel". Manque de bol, les formules de ce document sont protégées par un mot de passe mais ça n'a pas été un gros problème pour les trouver, elles ne sont pas chiffrées...

Les données d'entrée sont :

  • pf : poids de la farine ;
  • thl : taux d'hydration du levain ;
  • thp : taux d'hydration de la pâte ;
  • tlf : taux du levain par rapport à la farine.

Les données de sortie sont :

  • pe : poids de l'eau ;
  • ptp : poids total de la pâte (eau + farine + levain) ;
  • pl : poids du levain.

On reconnait les données de la recherche de la recette équivalente que j'ai étudiée ci-dessus.

Et voici sans plus attendre les équations boulangères (C) de Jean-Michel-qui-fait-des-cachoteries :

pl = pf * tlf
pfl = pl / (1 + thl)
ptf = pf + pfl
pte = ptf * thp
pel = pl - pfl
pe = pte - pel
ptp = pf + pe + pl

Ces équations différent des miennes car nous n'avons pas la même définition de tlf, le taux de levain par rapport à la farine. Dans mon cas, il s'agit du taux de farine du levain par rapport au reste de la farine. Je ne trouve pas très cohérent de faire un rapport entre un mélange d'eau et de farine d'une part et de farine d'autre part. Ça revient à comparer des choux et des navets (cf [2]).

Autre différence, le taux de sel est donné par rapport à l'eau avec l'argument que le sel est dissout dans l'eau, par analogie avec l'eau de mer peut être... Or le pain est plutôt un aliment solide contrairement à la soupe cwouet à la bouillie, de plus une partie de l'eau s'évapore au cours de la cuisson et même après. C'est pourquoi j'ai préféré définir le taux de sel par rapport à la matière sèche, c'est à dire la farine.

Autre curiosité : un poids de sel minimum et un poids de sel maximum sont donnés. Il sont définis par rapport à l'eau ajoutée (l'eau de coulage) pour le premier et par rapport à l'eau totale (incluant l'eau contenue dans le levain) pour le second. Tout cela est bien compliqué et il eût été préférable de donner une fourchette du taux de sel par rapport à un ingrédient fixe.

L'application numérique :

thl = 0.7
thp = 0.704
tlf = 0.4
pf = 575

Voici le déroulé des formules :

pl = 575 * 0.4 = 230
pfl = 230 / (1 + 0.7) = 135.29
ptf = 575 + 135.29 = 710.29
pte = 710.29 * 0.704 = 500
pel = 230 - 135.29 = 94.71
pe = 500 - 94.71 = 405.29
ptp = 575 + 405.29 + 230 = 1210.29

Et voilà, ça tient en 10 lignes.


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